VIDEO TRANSCRIPTION
Matemaks
Powtórka do matury - mix najważniejszych zagadnień - część 1
Description generated by Skrybot
No description has been generated for this video.
Transcription generated by Skrybot
Witam Was bardzo serdecznie w materiale powtórkowym do matury podstawowej z matematyki. W tym filmiku przygotowałem dla Was miks kilkunastu zagadnień, które bardzo często pojawiają się na maturze podstawowej. Jeżeli będziecie dobrze rozumieli te zagadnienia, które omawiam w tym filmiku, to macie bardzo dużą szansę na zdanie matury. Tak jest duże podsumowanie w jednym filmie. Oczywiście zostawienie najważniejszych zagadnień i taka pełna lista pewniaków jest dostępna na mojej stronie. Jeżeli chcielibyście poćwiczyć największej liczbie materiałów, to dam Wam linki w opisie tego filmu. Sam ten materiał również nie wyczerpuje wszystkich najważniejszych zagadnień, jakie mogą pojawić się na maturze. To jest taka pierwsza część. Postaram się jeszcze dla Was przygotować część drugą przed maturą, takiej powtórki.
Możecie również pisać w komentarzach, jakie zagadnienia sprawiają Wam największą trudność, jakie chcielibyście, abym dla Was powtórzył, przygotował opracowanie. Te zagadnienia, które najczęściej pojawią się w komentarzach, będą miały najwięcej łapek. Uwzględnijmy w kolejnym materiale i przygotuję dla Was taką powtórkę. W tym filmiku wybrane przeze mnie zagadnienia, te które praktycznie zawsze pojawiają się na maturze, abyście mieli taką fajną powtórkę, ponieważ matura już jest bardzo niedaleko. No więc zaczynamy. Pierwszy przykład, jaki przygotowałem, to takie klasyczne działanie na potęgach i pierwiastkach. Musimy umieć zamieniać pierwiastki na potęgi. To jest bardzo ważne, żeby umieć uporać się z takimi napisami. Jeżeli musicie uprościć takie wyrażenie potęgowo-pierwiastkowe, to zawsze najlepiej jest doszukiwać się potęg o jak najmniejszych podstawach.
To znaczy szukać możliwie najmniejszych podstaw potęg i do takich podstaw sprowadzać wszystkie pozostałe liczby. Tutaj taką podstawą jest dwójka, więc te pozostałe dwie liczby będziemy chcieli zapisać właśnie za pomocą potęg o podstawie 2. 8 to jest oczywiście 2 do 3. I pierwiastka 5. stopnia pozbywamy się w taki sposób, że zamiast wyciągać pierwiastek 5. stopnia z tej liczby, to podnosimy ją do potęgi 1. 5. Dalej razy 2 do 3 przepisujemy bez zmian. I w mianowniku tak samo, zamiast 4, 2 do 2 i zamiast pierwiastka 3. stopnia 1. 3. No i już mamy potęgi o podstawie 2. W takiej sytuacji jak liczbę raz podnosimy do potęgi, a potem drugi raz do potęgi, to oczywiście wykładniki wymnażamy.
Czyli tutaj mamy 2 w potędze, 3 razy 1. 5, 3 piąte, razy dalej 2 do 3, podzielić, a w mianowniku 2 do potęgi, 2 razy 1. 3, czyli 2. 3. To jest pierwsza ważna umiejętność wykonywania działań na potęgach, aby wymnażać wykładniki, jak jest taka sytuacja. A jak mamy mnożenie potęg o tych samych podstawach, to wykładniki dodajemy. Jeżeli dzielimy, to wykładniki odejmujemy. Czyli cały ten ułamek możemy już zapisać w postaci 1 potęgi o podstawie 2 i wykładniku. 3 piąte, tutaj było mnożenie, więc wykładniki dodajemy, czyli plus 3. No i potem jeszcze mamy dzielenie takiej liczby przez taką, czyli odejmujemy od tego wykładnika ten, czyli minus 2 trzecie.
No i mamy już w zasadzie sprawę załatwioną, musimy teraz wykonać dodawanie ułamków. W niej też przećwiczymy umiejętność sprowadzenia do wspólnego mianownika, która często przydaje się w wielu zadaniach, musimy to mieć w małym palcu. Także tutaj wspólnym mianownikiem tych trzech liczb będzie liczba 15. Jeżeli pomnożymy tę liczbę w liczniku i w mianowniku przez 3, to w liczniku otrzymamy 9 w mianowniku 15 plus 3 trzeba pomnożyć przez 15. W liczniku będzie 45 w mianowniku 15. To jest inaczej zapisana liczba 3 minus, a tę liczbę przez 5, czyli będziemy mieli 10 15.
No i gdy mamy już wspólne mianowniki, to dodajemy te ułamki lub odejmujemy, jeżeli mamy minus i otrzymujemy tutaj 2 w potęże 45 minus 10 i jeszcze plus 9, czyli tak jakby 45 minus 1, czyli 44 15. No i to jest odpowiedź do przykładu pierwszego. Taką potęgę otrzymujemy po uproszczeniu tego wyrażenia. Przećwiczyliśmy tutaj zamienianie pierwiastków na potęgi, to jest bardzo ważne. Często możemy sobie w ten sposób bardzo uprościć zapis, jak się pozbędziemy takich paskudnych pierwiastków. A jeżeli mamy pierwiastek z dwóch, chociaż dwójka to może tutaj jako trochę niefortunny przykład, ponieważ może nam się pomieszać z pierwiastkiem stopnia drugiego, to może zamiast dwójki wezmę 5. Pierwiastek z pięciu to taki pierwiastek jak zamieniamy na potęgę.
Oczywiście to jest 5 w potędze i 1 druga, bo jeżeli nie mamy stopnia pierwiastka, to domyślnie tu stoi 2. No i tak jak napisałem przed chwilą pierwiastek z dwóch, no to byłoby 2 w potędze i 1 druga. Tak zamieniamy pierwiastki na potęgi, to się bardzo przydaje, także o tym pamiętajcie. No i o tym jak wykonywać działania na potęgach również, ponieważ praktycznie zawsze pojawia się w zadaniach zamkniętych. Zadanie tego typu warto je umieć dobrze rozwiązać, to jest pewny jeden punkt, a w innych zadaniach również ta umiejętność może się przydać. Kolejny pewniak maturalny to zadanie z procentami.
Bardzo często pojawiają się obniżki, podwyżki cen, musimy umieć liczyć procenty z danych liczb albo procenty z jakiejś kwoty, którą potem pomniejszamy, no w każdym razie zadania tego typu. Można to robić proporcjami, jeżeli ma się dobrze proporcje opanowane, ja jednak polecam metodę z równaniem z x. Wtedy praktycznie nie macie możliwości na pomylenie się, ponieważ jednoznacznie równanie opisuje treść zadania, a w proporcji czasem coś możemy zapisać źle, czasami można się pomylić, ale to tak jak mówię, jak kto woli, jeżeli macie bardzo dobrze opanowane proporcje, to procenty z proporcjami oczywiście można robić. Ja polecam metodę z x i taką tutaj pokażę na rozwiązanie tego przykładu. Cena towaru po obniżce o 20% wynosi 400 zł. Cenę towaru oznaczamy sobie przez x.
No i teraz tego x chcemy obniżyć o 20% i w wyniku dostać 400 zł. No to piszemy tak, x – 20% x równa się 400 zł. 20% z x to inaczej 200 x. Tak zamieniamy procenty na ułamki. To jest ważne, żeby umieć zamieniać procenty na ułamki, to umożliwia wykonanie działania. Dopóki stoi znaczek procentów, to tak nie do końca wiemy jak odjąć te liczby, a jak już mamy zamienione na ułamki, to bez trudu teraz wykonamy odejmowanie. 20 setnych to inaczej 2 dziesiąte, czyli jeszcze prościej mówiąc 1 piąta x – 1 piąta x to 4 piąte x równa się 400 zł. Przejdę tu dalej z rachunkami.
Aby rozwiązać takie równanie, to mnożymy je obustronnie przez odwrotność tego mianownika, czyli przez 5 czwartych, po to aby po lewej stronie równania otrzymać samego x. To jest taka ogólna metoda na rozwiązywanie równan, czyli otrzymujemy x równa się 400 x 5 czwartych. 400 podzielić na 4 to 100, możemy nawet takie skrócenie wykonać tu 1, tutaj 100. 100 x 5 to jest 500. Czyli cena początkowa to była 500 zł. No jak łatwo policzyć, jeżeli byśmy obniżyli ją o 10%, to obniżylibyśmy ją o 50 zł. A jak obniżamy cenę o 20%, to obniżamy cenę o 100 zł, czyli otrzymamy 400, czyli dobrze wykonaliśmy rachunek.
Przy takich obniżkach cen polecam wam metodę z równaniami, ponieważ jest ona niezawodna, nawet jeżeli byśmy mieli podwójną obniżkę cen, czy też obniżkę, a potem podwyżkę, to najpierw rozwiązujemy jedno równanie, wyliczamy jedną kwotę, a potem kolejny raz wykonujemy jakąś obniżkę lub podwyżkę, czyli podobne równanie rozwiązujemy już na nowej kwocie. No i w ten sposób na pewno się nie pomylicie. Kolejny przykład, który tutaj przygotowałem, to zadanie z logarytmami. Również bardzo częsty motyw na maturze, wśród zadań zamkniętych bardzo często pojawia się zadanie za jeden punkt z logarytmami, warto umieć to dobrze liczyć, ponieważ to jest szybki, łatwy punkt. Co my możemy tutaj obliczyć? Mamy sumę trzech logarytmów, na pewno łatwo dosyć możemy obliczyć ten logarytm.
Dwa, do jakiej potęgi da nam osiem? Oczywiście dwa do trzeciej, to jest osiem, czyli ten logarytm jest równy po prostu trzy. Te dwa logarytmy możemy zapisać obok siebie, dodawanie jest przemienne, czyli możemy napisać, w ogóle może na początku wynik tego logarytmu, czyli trzy plus dalej ten logarytm. Logarytm przy podstawie 12 z dwóch plus logarytm przy podstawie 12 z siedemdziesięciu dwóch. I teraz, gdy dodajemy logarytmy o takich samych podstawach, to liczby logarytmowane mnożymy. Czyli sumę tych dwóch logarytmów możemy zamienić na jeden logarytm o podstawie 12, czyli tu będziemy mieli tak, trzy plus logarytm o podstawie 12 z liczby dwa razy siedemdziesiąt dwa, czyli 144. Dwanaście do jakiej potęgi da 144? Oczywiście do drugiej.
Tu akurat ładnie się zgodziło, takie liczby dobrałem, żeby ładnie nam wyszedł ten logarytm. I na maturze też zawsze wam dobieram takie liczby, aby te logarytmy ostatecznie ładnie się policzyły. Trzy plus dwa. Ten logarytm jest równy dwa, ponieważ 12 do potęgi drugiej daje 144. Trzy plus dwa równa się pięć. Tyle jest równa suma tych trzech logarytmów. Przejdźmy teraz do kolejnego zadania. Przykład czwarty. Przygotowałem tutaj funkcję liniową. Przesowałem ją kolorem niebieskim, żeby się odróżniała od układów współrzędnych. Mamy jej wzór. Y równa się pięć drugich X plus B. Ta liczba stojąca przed X to współczynnik kierunkowy i mówi nam o tym, czy prosta rośnie, czy prosta maleje.
Jeżeli jest dodatni, to prosta rośnie. Im jest bardziej dodatni, tzn. im jest większa ta liczba, tym prosta jest bardziej pionowa. Gdybyśmy mieli liczbę bliską 0, ale dodatnią np. 1 setna, to taka prosta byłaby prawie że pozioma, taka bardzo wolno wznosząca się. A ten wyraz wolny, który zresztą musimy obliczyć, to co to takiego jest dla funkcji liniowej? To jest punkt przecięcia z osią Y. Czyli odpowiedź na pierwsze pytanie, ile jest równy parametr B jest bardzo prosta. Z wykresu widzimy, że B jest równa 3. Kolejne pytanie jakie mamy do tej funkcji liniowej to jest pytanie o jej miejsce zerowe.
Co to jest miejsce zerowe funkcji? To jest punkt, w którym wykres przecina oś X. Czyli to jest X, w którym jest przecięta oś X przez wykres naszej funkcji. Żeby obliczyć ten punkt, to najlepiej jest wziąć wzór funkcji i przyrównać go do 0. Bo to jest nic innego jak X, dla którego Y jest równy 0. Tutaj mamy 0 na osi Y, dlatego to się nazywa miejsce zerowe. Argument dla którego funkcja przyjmuje wartość 0. Czyli szukamy takiego argumentu, dla którego wzór funkcji się wyzeruje. Wzór funkcji już mamy. To jest 5 drugich X plus B, czyli plus 3. To jest nasz wzór. On musi być równy 0.
Szukamy X, dla którego tak będzie. Czyli 5 drugich X równa się minus 3, czyli X równa się minus 3 razy 2 piąte, czyli minus 6 piątych. Tyle jest równe miejsce zerowe. Czyli w tym miejscu na osi X mamy minus 6 piątych. Kolejne pytanie, czy punkt P o podanych współrzędnych należy do wykresu tej funkcji? Jak to sprawdzić? Mając wzór funkcji bardzo łatwo. To jest współrzędna X punktu P. To jest współrzędna Y. Jeżeli mamy dany wzór, a mamy, to jeżeli podstawimy do wzoru pod X współrzędną X danego punktu, a pod Y współrzędną Y, to musi wyjść nam równanie prawdziwe.
Przepiszmy jeszcze raz wzór naszej funkcji Y równa się 5 drugich X i plus B, czyli plus 3. I teraz do tego wzoru podstawiamy współrzędne punktu P. Pod Y współrzędną Y, czyli 16, a pod X współrzędną X, czyli 6. No i sprawdzamy, czy otrzymamy równanie prawdziwe. 6 z 2 skraca się, tu otrzymamy 3, po lewej stronie 16, a po prawej 5 razy 3 to 15, plus 3 to 18. No niestety równanie nie jest prawdziwe, czyli punkt P nie należy do wykresu tej funkcji.
A gdybyśmy chcieli znaleźć punkt P o współrzędnej X 6 i jakiejś Y, żeby należał do wykresu tej funkcji, to jak byśmy to zrobili? No po prostu policzylibyśmy wartość tej funkcji dla X równego 6. Ileś by tam wyszło na tej naszej prostej i ta wartość, która by nam tutaj wyszła, no to byłaby współrzędna Y punktu, który należy do wykresu tej funkcji i ma współrzędną X równą 6. Moglibyśmy to napisać tak, że na przykład, ja lubię taki zapis, to od razu przy okazji pokażę go alternatywnie. Zamiast Y możemy pisać F od X. F od X równa się 5 drugich X plus 3.
No inaczej zapisałem wzór tej naszej funkcji liniowej, nie za pomocą Y, tylko za pomocą F od X. Można wymiennie stosować te napisy. Ja wolę taką postać, ponieważ z niego widać, co funkcja robi z argumentem X. Tak jak chcemy obliczyć wartość funkcji dla 6, to po prostu wrzucamy w szczęki naszej funkcji 6. I dalej we wzorze, tak samo pod każdego X, widzimy, że tu pod X wzięliśmy 6, no to we wzorze też pod X bierzemy 6. Czyli patrzymy, co nam wyjdzie, jaka wartość funkcji dla X równego 6. 5 drugich razy 6 plus 3 to się równa, no tutaj już to liczyłem, to było 15 plus 3, 18.
No zresztą właśnie ten rachunek, który tutaj wykonaliśmy. Czyli punkt powiedzmy P1 o współrzędnych 6, 18, już należy do wykresu naszej funkcji liniowej Y równa się 5 drugich X plus 3. Także takie operacje na funkcji liniowej na pewno musimy umieć robić. Musimy wiedzieć, że punkt przecięcia z osią Y to ten wyraz wolny. Musimy umieć rozumieć i interpretować współczynnik kierunkowy. Jak dodatni to funkcja rosnąca, jak ujemny to funkcja malejąca. Proste, które mają identyczne współczynniki kierunkowe są równoległe. O tym zresztą jeszcze potem sobie powiemy. A jak to robimy, musimy na pewno umieć obliczać miejsca zerowe i ta metoda, którą tu sobie pokazaliśmy, że przyrównujemy wzór funkcji do zera jest metodą uniwersalną.
Czy funkcja liniowa, czy kwadratowa, czy jakakolwiek inna zawsze w ten sam sposób wzór funkcji przyrównowywany do zera da nam miejsca zerowe. W przypadku funkcji liniowej to może być najwyżej jedno miejsce zerowe, a dla funkcji kwadratowej już mogą wyjść dwa miejsca zerowe. Przejdźmy teraz dalej do kolejnego pytania, które jeszcze mamy dla funkcji naszej liniowej spod punktu 4. Kiedy ta funkcja jest niedodatnia? Może się pojawić takie pytanie i to jest tak naprawdę pytanie o nierówność. Musimy tutaj rozwiązać nierówność, żeby odpowiedzieć na to pytanie. Kiedy funkcja jest niedodatnia? Niedodatnia, czyli ujemna albo równa 0, inaczej mówiąc. Czyli pytamy się, kiedy nasz y jest ujemny lub równy 0. Czyli rozwiązujemy taką nierówność.
Y, czyli ten nasz wzór 5 drugich x plus b, czyli 5 drugich x plus 3, jak już wyliczyliśmy, czyli 5 drugich x plus 3 musi być mniejsze równę 0. Musimy rozwiązać nierówność liniową. Prosta sprawa. Tak samo jak tutaj rozwiązywaliśmy równanie, tak teraz nierówność. 5 drugich x mniejszy równo od –3, czyli x mniejsze bądź równe od –6 piątych. W tym przypadku mnożyliśmy tę nierówność przez 5 drugich, tak samo jak tutaj. Pamiętajcie jednak, że gdybyśmy mnożyli bądź dzielili nierówność przez liczbę ujemną, to znak zmienia się na przeciwny.
Gdybyśmy na przykład mieli nierówność w postaci –3x mniejsze od 2 i chcieli podzielić tę nierówność na –3 stronami, żeby po lewej stronie otrzymać samego x, po prawej byśmy otrzymali –2 trzecie, ale znak naszej nierówności zmienia się wtedy na przeciwny. Jak dzielimy bądź mnożymy nierówność przez –3, o tym pamiętajcie, żeby nie dać się złapać w taką pułapkę, gdyby pojawił się taki przykład. W każdym razie wracając do naszego pytania, kiedy funkcja jest niedodatnia? Ano wtedy, gdy weźmiemy x mniejsze bądź równe od –6 piątych. Widzimy, że –6 piątych to było nasze miejsce zerowe, czyli dla tych x tutaj mamy funkcję niedodatnią. No rzeczywiście, dla wszystkich tych argumentów x mamy tutaj wartości naszej funkcji, które są ujemne.
Pod osią x tu mamy wszędzie wartości ujemne, ewentualnie dla –6 piątych, które też wchodzi w skład naszego rozwiązania, mamy wartość 0. Miejsce zerowe może być, to jeszcze nie jest wartość dodatnia. Przejdźmy teraz do kolejnego zagadnienia, a mianowicie do nierówności kwadratowych. Rozwiązaliśmy przed chwilą prostą nierówność liniową, teraz nieco trudniejsze nierówności kwadratowe. I generalnie dla innych nierówności niż liniowe, poza taką metodą algebraiczną, dużo lepsza jest metoda przez narysowanie wykresu funkcji. I tego powinniśmy się trzymać. Jaką nierówność kwadratową byśmy nie mieli, czy taką jak w przykładzie 6, to zawsze bierzemy to wyrażenie i traktujemy jako funkcję.
Możemy sobie podpisać, że to jest nasza funkcja f o dx i chcemy teraz narysować jej wykres i dopiero z wykresu odczytamy gdzie jest mniejsza od 0. Tak jak tutaj, mieliśmy wykres i z wykresu mogliśmy odczytać, że funkcja niedodatnia jest tutaj, czyli na lewo od –6 piątych, bez rozwiązywania nierówności. Mając wykres, miejsce 0, widzimy rozwiązanie nierówności. I tak właśnie w szczególności w przypadku funkcji kwadratowej koniecznie zawsze musimy narysować wykres jak mamy nierówność. Żeby narysować wykres, to przydałyby nam się miejsca 0 tej funkcji. Skoro wyraża się ona takim wzorem, no to przyrównując wzór do 0 znajdziemy miejsca 0.
Kiedy to się równa 0? Jeżeli mamy iloczyn dwóch nawiasów, to on jest równy 0, jeżeli któryś z tych nawiasów się zeruje, czyli gdy x plus 1 jest równy 0, albo x minus 2 jest równy 0, czyli w tym przypadku gdy x jest równy –1, albo x jest równy 2. To są liczby zerujące nawiasy, czyli miejsca 0 tej funkcji. Mając miejsca 0, możemy naszkicować wykres oś xów, możemy nawet tutaj narysować oś y. Wiemy, że miejsce 0, 1 to –1, drugie miejsce 0 to 2. Jak będą leciały ramiona paraboli? Do góry czy do dołu, bo wykresem funkcji kwadratowej zawsze jest parabola. O tym oczywiście pamiętamy.
Gdybyśmy wymnożyli te nawiasy, to co byśmy otrzymali? x kwadrat minus 2x jeszcze plus x to byłoby minus x i jeszcze minus 2. Współczynnik przed x kwadrat tu jest równy 1, jest dodatni, czyli ramiona są skierowane do góry, mniej więcej w taki sposób będzie wyglądała nasza parabola. No i my się pytamy, gdzie jest mniejsza od 0, czyli gdzie jest ujemna, gdzie jest pod osią xów. Ma to miejsce tutaj, ten fragment wykresu jest pod osią xów, a jemu odpowiada taki przedział na osi xów, bo zawsze rozwiązaniem są argumenty. Czyli w tym przypadku przedział od –1 do 2, napisalibyśmy, że x należy do przedziału od –1 do 2, obustronnie otwarty, to jest rozwiązanie tej nierówności.
Gdybyśmy mieli tutaj znaczek taki, mniejsze bądź równe, to musielibyśmy wziąć rozwiązanie z miejscami zerowymi, czyli nawiasy byłyby wtedy domknięte, tu byśmy narysowali kółka zamalowane, również miejsca zerowe są wtedy dobre, wtedy kiedy funkcja jest równa 0, wtedy również jest mniejsza bądź równa od 0. Spójrzmy teraz na przykład 6, przykład 6 będzie z małym haczykiem, a nawet z dwoma haczykami. Pierwszy haczyk jest taki, że nie możemy patrzeć na to wyrażenie jako na naszą funkcję, ponieważ po prawej stronie równania nie mamy zera. Musimy mieć zawsze po drugiej stronie 0 i wtedy dopiero możemy rozpatrywać wzór funkcji i rysować jej wykres, tak jak mieliśmy to tutaj.
Także o tym koniecznie pamiętajcie, jakby dali wam taką nierówność, to najpierw generujemy sobie 0 po jednej stronie, a potem bawimy się zresztą albo tak jak tutaj, jak mamy postać iloczynową, albo łatwo możemy ją wyznaczyć, albo deltą, tak jak zrobimy to w tym przypadku. Minus x² plus 3x plus 2 minus 10 to będzie minus 8 mniejsze od 0. No i teraz bierzemy sobie oczywiście ten nasz wzór, moglibyśmy jeszcze pomnożyć tę nierówność stronami przez minus 1, żeby pozbyć się tych minusów, ale wtedy pamiętamy, że znak zmienia się na przeciwny.
Nie ma to znaczenia jak wolicie, tak możecie zrobić albo sobie pomnożyć przez minus 1 albo nie, wynik wyjdzie ten sam, znaki się zmienią na przeciwny przy liczbach i znak w nierówności zmieni się na przeciwny, ale wynik ostatecznie wyjdzie taki sam. Ja tu może zrobię już w tym oryginalnym przypadku z minusami, żeby poćwiczyć liczenie delty w trudniejszym wariancie. No i znowu mamy taką funkcję f od x, chcemy narysować jej wykres, jest to funkcja kwadratowa, więc szukamy miejsc zerowych. Delta to się równa b², czyli współczynnik przed x, czyli 3 do kwadratu minus 4 razy a, czyli minus 1 współczynnik przed x² i razy c wyraz wolny, czyli razy minus 8.
Widzicie dużo minusów, można się pomylić, dlatego ja wolałbym się ich pozbyć, ale tu ćwiczymy trudniejszy wariant rachunków z minusami. 3 minusy dadzą nam minus, czyli będziemy mieli tutaj 9 minus 4 razy 8 to będzie 32. No w każdym razie delta na pewno ujemna. Co to dla nas oznacza, że delta ujemna? To oznacza, że ta funkcja nie będzie miała miejsc zerowych, czyli jak będzie wyglądał jej wykres? Jak byśmy narysowali oś xów, to na pewno jej wykres nie przetnie nam tej ości xów, ramiona będzie miał skierowane do dołu, bo współczynnik przed x² jest ujemny, czyli wykres będzie wyglądał jakoś tak. Parabola będzie w całości pod osią xów.
Jak to się przekłada na nasze rozwiązanie? My się pytamy, gdzie funkcja jest mniejsza od 0, czyli gdzie jest pod osią xów? Odpowiedź w tym zadaniu jest wszędzie. Dla każdego xa, jakiego xa byśmy nie wzięli z naszej osi xów, to wszędzie otrzymamy wartość ujemną, bo parabola jest pod osią xów, czyli rozwiązaniem tej nierówności kwadratowej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Napisalibyśmy tak, x należy do zbioru liczb rzeczywistych i to byłaby odpowiedź w tej nierówności. Gdyby znak w tej oryginalnej nierówności był przeciwny, czyli większe albo większe bądź równe 0, o gdyby było coś takiego, oczywiście nie 0 tylko 10, po prostu chodzi mi o znak.
Gdyby znak był przeciwny, to również tutaj byłby przeciwny, byłoby większe bądź równe 0 dopiero na tym etapie, no to w takiej sytuacji dla takiego znaku mielibyśmy rozwiązanie zbiór pusty, czyli nierówność byłaby sprzeczna, dlatego bo nigdzie wykres nie jest większy bądź równy od 0, nigdzie się nie znajduje nad osią xów. Czyli w takim wariancie mielibyśmy nierówność sprzeczną, a tak mamy nierówność wszędzie prawdziwą. Takie dosyć mało typowe przypadki, rzadko spotykane na maturze, ale mogą się zdarzyć. Kiedyś się pojawiło takie zadanie, takie z haczykiem podchwytliwe, dobrze byłoby, żebyście byli przygotowani również na taki wariant. Zauważcie, że w przykładzie 5 narysowałem oś y, a tutaj nie narysowałem. Nie narysowałem jej dlatego, ponieważ nie wiem gdzie ona jest.
Może być na przykład tutaj, ale może być również tutaj. Chciałbym narysować ją dobrze, po dobrej stronie wierzchołka. Gdybym chciał tak dokładnie narysować ten wykres, to musiałbym najpierw namierzyć jaką współrzenną x ma wierzchołek. Może od razu przy okazji tej nierówności przypomnijmy sobie tę wiedzę, jak obliczyć współrzenną x wierzchołka. Mamy na to gotowy wzór, minus b przez 2a. Patrzymy na to wyrażenie. To jest nasza efod x, nie to tutaj, tylko to tutaj w ramce. B w tym przypadku jest równe 3, czyli wzięlibyśmy minus 3 podzielić na 2a, a jest równe minus 1, czyli na minus 2, czyli 3 drugie. Tutaj mamy 3 drugie, w związku z tym 0 jest gdzieś tutaj.
Czyli jakbym chciał narysować oś y, to narysowałbym ją w tym miejscu i teraz rysunek jest narysowany poprawnie. Takie pytanie dodatkowe, jaką tu mamy wartość, w jakim punkcie parabola przecina oś y? W takim wyraz wolny we wzorze naszej funkcji. Z czego to wynika? Gdybyśmy obliczyli f od 0, to by nam się wyzerowało. Mielibyśmy minus 0 do kwadratu, potem plus 3 razy pod x0, minus 8, czyli to się równa po prostu minus 8. Wartość funkcji w wzorze jest równa minus 8, czyli tu mamy minus 8. No i w ten sposób już tak bardzo dokładnie narysowałem wykres tej funkcji kwadratowej. To też jest umiejętność, którą powinniśmy mieć w małym palcu.
Funkcja kwadratowa pojawia się zazwyczaj w kilku zadaniach. Nie tylko w nierówności, ale jeszcze w zadaniach zamkniętych, czasami w zadaniu za dwa punkty, a nawet w zadaniu za 4-5 punktów mogłoby się pojawić bardziej rozbudowane zadanie z funkcji kwadratowej. Więc warto mieć ją dobrze opanowaną, umieć wyliczać wierzchołki, wiedzieć, że ta liczba to punkt przecięcia z 8y, wiedzieć jak obliczać miejsca 0 albo przez deltę, albo przez postać iloczynową. To wszystko są cenne wiadomości, cenne umiejętności. Warto je mieć do matury dobrze opanowane.
Gdybyśmy chcieli obliczyć jeszcze tutaj współrzędną y-kową wierzchołka, czyli tę wartość, to jak to można było zrobić? Ta liczba tutaj, ta wartość, to jest najprościej mówiąc wartość funkcji dla jakiego argumentu x? Oczywiście dla tego, czyli dla trzech drugich. Jak byśmy to obliczyli, to mielibyśmy współrzędną y-kową wierzchołka, albo moglibyśmy skorzystać z gotowego wzoru w tablicach. Tak jak mamy wzór na p, to jest często znaczony literką p, współrzędna x-owa wierzchołka, tak samo mamy na q. Także czy skorzystamy z gotowego wzoru, czy już z wyliczonej współrzędnej x-owej wierzchołka nie ma znaczenia, obie drogi są dobre. Moglibyśmy w ten sposób wyliczyć jeszcze precyzyjnie współrzędną y-kową wierzchołkę. Przejdźmy teraz dalej do kolejnego zadania z funkcji kwadratowej.
Mamy taką funkcję f od x równa się 3x² bx plus c i wiemy, że do jej wykresu należy wierzchołek w o współrzędnych 1, 2. Musimy obliczyć parametry b i c. Jak to zrobić? Najlepiej będzie skorzystać ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej, która wykorzystuje wierzchołek. Mamy ją daną w tablicach maturalnych. Funkcjami w taki sposób możemy zapisać tak, że najpierw mamy współczynnik a, ten który stoi przed x² i jego znamy. Jest równy 3, już widzimy, że ramiona paraboli będą leciały do góry, jakbyśmy chcieli narysować jej wykres, czyli 3, a w nawiasie mamy x minus współrzędna x-owa wierzchołka, czyli minus 1 do kwadratu i plus współrzędna y-owa wierzchołka, czyli plus 2.
Takim wzorem wyraża się nasza funkcja f od x i teraz aby obliczyć b i c to wystarczy, że przekształcimy jej wzór do postaci ogólnej. Podniesiemy do kwadratu, wszystko uprościmy, będziemy mieli postać ogólną, wykonajmy ten rachunek, 3 razy podnosimy nawias do kwadratu wzorem skróconego mnożenia. Wzory skróconego mnożenia też powinniśmy mieć dobrze opanowane, nie mylić się przy wykonywaniu takich rachunków, ponieważ one pojawiają się w różnych zadaniach, warto mieć je dobrze wyćwiczone. x do kwadratu to x kwadrat, teraz podwojony iloczyn, minus 2 razy 1 razy x to będzie minus 2x i plus jeszcze 1 do kwadratu, czyli plus 1, wszystko jeszcze plus 2, równa się, wymnażamy.
Wymnażamy, 3 razy x kwadrat to 3x kwadrat, minus 3 razy 2x to będzie minus 6x i 3 razy 1 to będzie plus 3, jeszcze plus 2 to się równa i ostatecznie mamy 3x kwadrat minus 6x plus 3 plus 2, to jest plus 5. No i gdy mamy postać ogólną, to bardzo łatwo odczytujemy, że b jest równe minus 6, a c jest równe plus 5, no i mamy rozwiązany ten przykład. Spójrzmy teraz na przykład 8, mamy tutaj wykres parabolii z wieloma punktami zaznaczonymi, punkt przecięcia z osią J, miejsca zerowe i musimy znaleźć wzór tej funkcji. Jak się rozprawimy z tym problemem? No musimy wykorzystać te informacje, które mamy podane.
Mamy dane miejsca zerowe, więc podobnie jak w tym przykładzie 5 skorzystamy z postaci iloczynowej. Z miejsc zerowych od razu w zasadzie wynika nam postać iloczynowa, możemy napisać, że nasz wzór f od x równa się. Jakichś współczynnik a, którego na razie nie znamy, razy pierwszy nawias wykorzystujący to miejsce zerowe, czyli x plus 1, to jest nawias zerowany przez minus 1 i jeszcze razy nawias zerowany przez 3, czyli x minus 3. No i już w zasadzie mamy gotowy wzór funkcji kwadratowej, nas tu nie proszą o żadną konkretną, ogólną, kanoniczną, iloczynową, najwygodniej byłoby nam podać wynik w postaci iloczynowej, ale nie mamy współczynnika a. Jak go obliczyć? Z tego punktu, którego jeszcze nie wykorzystaliśmy.
To jest punkt, może nazwijmy go np. literką P, jakie on ma współrzędne? X-owa jaka? Oczywiście 0, a Y-owa jest podpisana, minus 1. Taki punkt należy do wykresu tej funkcji. To znaczy, że gdy podstawimy pod X-a współrzędną X-ową, a pod Y-a, to jest nasz Y, współrzędną Y-ową, to trzymamy równanie prawdziwe, no i z niego wyliczymy a. Y jest równy minus 1, równa się a razy, x jest równy 0, czyli tu mamy 0 plus 1 razy 0 minus 3, czyli minus 1 to się równa a razy, 0 plus 1 to 1, razy 0 minus 3 to minus 3.
Czyli po prostu mamy minus 1 równa się minus 3 razy a, minus 3a, czyli a jest równy minus 1 podzielić na minus 3, czyli 1 trzecia. Zatem mamy gotowy wzór naszej funkcji, moglibyśmy go napisać, f od x równa się 1 trzecia razy x plus 1 razy x minus 3. A gdybyśmy musieli podać wzór w postaci ogólnej, no to oczywiście wymnażamy te nawiasy wyraz za wyrazem x razy x, x razy minus 3, 1 razy x, 1 razy minus 3, wszystko upraszczamy i mnożymy przez 1 trzecią i mamy postać ogólną.
A gdybyśmy chcieli zapisać w postaci kanonicznej, tak jak tutaj z wykorzystaniem wierzchołka, no to oczywiście potrzebny byłby nam wierzchołek, musielibyśmy go znaleźć, jak go najłatwiej znaleźć w takiej sytuacji, gdy mamy miejsca zerowe. Współrzędna x-owa wierzchołka leży dokładnie pośrodku między miejscami zerowymi. Co to znaczy dokładnie pośrodku między tymi liczbami? To znaczy, że to jest średnia arytmetyczna tych liczb, minus 1 plus 3 dzielone na 2. Czyli 2 na 2, czyli 1. Czyli współrzędna x-owa wierzchołka jest równa 1. Żeby wyliczyć y-ową, to znowu wystarczyłoby policzyć wartość funkcji od jedynki i to byłaby ta współrzędna y-owa wierzchołka. Jeżeli wierzchołek byśmy podpisali, że ma współrzędne p, q, no to właśnie q jest równa f od 1.
A jak obliczyć f od 1? No mamy wzór, czyli po prostu 1 trzecia razy podstawiamy pod x-a wszędzie jedynkę. Dlatego ta postać z f od x-iem jest dla mnie taka czytelniejsza, lepsza, bo widzimy co funkcja robi z x-em. Co funkcja robi z jedynką. Tutaj wszędzie pojawia się jedynka, czyli 1 plus 1, no to już nie będę tego obliczał. 1 minus 3, tylko podstawię, żeby było wyraźnie widać co tu się dzieje przy liczeniu wartości funkcji dla jakiegoś argumentu, że po prostu podstawiamy go w miejsce x-a. No i potem prosty rachunek i mamy wyliczoną żądaną wartość. Przejdźmy dalej do kolejnego przykładu i to będą funkcje z powrotem liniowe z parametrem.
No i ta równoległość prostopadłość, o których wcześniej sobie już wspominaliśmy, kiedy dwie proste są równoległe. Kiedy prosta k jest równoległa do prostej l, gdy mamy podane ich równania, tutaj jedno równanie jest z parametrem m. Dwie proste są równoległe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe są równe. Czyli k jest równoległe do l wtedy i tylko wtedy, gdy to jest równe temu. 2m plus 1 dzielone na 3 musi być równe minus 2, czyli 2m plus 1 jest równe minus 2 razy 3, czyli minus 6, czyli 2m jest równe minus 7, czyli m jest równe minus 7 drugich.
Widzimy, że obie proste są malejące, współczynnik kierunkowy jest równy minus 2, obie maleją, a ta prosta, która ma być prostopadła do obu tych prostych jest funkcją rosnącą, czyli na pewno jej współczynnik kierunkowy będzie dodatni. A kiedy dwie proste są prostopadłe, czyli prosta l i prosta s, wtedy gdy ilość czyn ich współczynników kierunkowych jest równy minus 1, czyli w tym przypadku 2a razy minus 2 ma być równe minus 1, czyli minus 4a jest równem minus 1, czyli a jest równem 1 czwarta. To jest prosta rosnąca w tempie 1 czwarta, wyszedł nam wynik zgodny z oczekiwaniami, współczynnik a jest dodatni, o źle powiedziałem, nie w tempie 1 czwarta, bo to nie jest współczynnik kierunkowy.
Współczynnik kierunkowy to 2a, 2 razy 1 czwarta to się oczywiście równa 1 druga, to jest współczynnik kierunkowy tej prostej. Właśnie, gdyby było w takim przykładzie pytanie o współczynnik kierunkowy prostej s, która jest prostopadła do prostej l, to wyliczenie parametru a nie jest dobrą odpowiedzią, bo to jest tylko współczynnik, który stoi w równaniu tej prostej, a współczynnik kierunkowy to całe to wyrażenie. Tak samo tutaj współczynnik kierunkowy to całe to wyrażenie, a nie minus 7 drugich. Ile jest równe to wyrażenie, tak bez liczenia? Oczywiście minus 2, bo proste są równoległe, więc ten współczynnik kierunkowy musi być taki sam jak ten.
I o ile tu się nie pomyliliśmy w rachunkach, to gdybyśmy pod Ema podstawili minus 7 drugich, to powinno wyjść nam minus 2. No dobra, to lecimy dalej. Na sam koniec zróbmy sobie coś z geometrii. Tutaj przygotowałem dla Was dwa przykłady z okręgami. W pierwszym musimy policzyć długość odcinka BC. Bardzo ważne w takich sytuacjach, gdy mamy okręg i dwie proste styczne poprowadzone z danego punktu jest to, że odcinki do punktów styczności są równe. To jest taka prosta obserwacja, która często się przydaje. Ponadto promień poprowadzony ze środka okręgu do stycznej zawsze pada na nią pod kątem prostym.
No i tu mamy ponadto powiedziane, że odcinek AB ma długość 5, czyli tu mamy 5, tu mamy 3, trójkąt prostokątny, długość tego odcinka X możemy wyliczyć z Pitagoras'a. 3² plus X² równa się 5² albo możemy zauważyć, że to jest taki typowy trójkąt prostokątny 3, 4, 5. Bardzo częsta sytuacja, czyli tu będziemy mieli po prostu długość 4, a skoro ten odcinek jest równy temu to tu również 4. Mogliśmy także tutaj narysować promień także długości 3 i z tego trójkąta prostokątnego wprost policzyć długość tego odcinka byłoby równie dobrze. A jak to jest z kątami w okręgu? Kąt środkowy i kąt wpisany oparte koniecznie na tym samym łuku.
Jakie jest ich wartościami? Oczywiście alpha jest dwa razy większy od beta. Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. My w tym zadaniu wiemy, że alpha plus beta to 90 stopni. Czyli zamiast alfy moglibyśmy napisać 2 beta, bo alpha jest dwa razy większy od beta, czyli jest równy 2 beta. Czyli 2 beta plus beta to 90 stopni. Czyli 3 beta to 90 stopni. Czyli beta to 30 stopni. Czyli alpha to ile? 2 beta. Czyli 2 razy 30 stopni, czyli 60 stopni. Bardzo ważna własność często pojawia się na maturze, także pamiętajcie o tych kątach środkowych i wpisanych jaką ma to własność.
No i w takiej sytuacji, żebyście umieli podstawić w razie czego dorównania dwukrotność jakiegoś kąta albo połówkę kąta środkowego pod kąt wpisany. Bo wtedy możemy sobie pozbyć się jednej niewiadomej i na jednej niewiadomej rozwiązać równanie i wyliczyć wartość kąta. Także to jest też dosyć typowy przykład maturalny. No i jeszcze na sam koniec zróbmy sobie przykład z ciągu arytmetycznego i geometrycznego. Mamy powiedziane, że 3 kolejne wyrazy tworzą ciąg arytmetyczny rosnący i musimy obliczyć jego różnicę. Jak mamy dane 3 kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego, to dla nich istnieje taka bardzo fajna własność, że środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.
Czyli x² plus 1 to się równa, średnia arytmetyczna tych wyrazów to 5 plus 5x dzielone na 2. Czyli rozwiązujemy takie równanie kwadratowe i będziemy mieli x. 2 razy to wyrażenie to 2x² plus 2 równa się sam licznik czyli 5 plus 5x. Wszystko na jedną stronę 2x² minus 5x minus 3 równa się 0. No takie dosyć brzydkie równanie kwadratowe, więc rozwiążemy je delta. Delta jest równa b² minus 5 do kwadratu to 25, minus 4 razy 2 razy minus 3, 6 razy 4 to 24 z plusem 25 plus 24 to 49.
Czyli wychodzi nam, że x1 jest równe minus b, minus minus 5 to 5, minus pierwiastek z delta czyli minus pierwiastek z 49 czyli minus 7, podzielić na 2a 2 razy 2 to 4 to się równa minus 2 na 4 to się równa minus 1 na 2. To jest jedno rozwiązanie tego równania kwadratowego a teraz drugie analogicznie tylko 5 plus 7 dzielone na 4 czyli 12 na 4 czyli 3. Czyli mamy dwa rozwiązania x może być równy tyle albo tyle, ale mamy powiedziane, że ciąg arytmetyczny jest rosnący.
Gdyby x był równy minus 1 na 2 to na pewno by nie był rosnący, bo tu byśmy otrzymali liczbę ujemną no i tutaj też była liczba mniejsza od 5 byłby wtedy malejący. Czyli tylko ten x spełnia nasze założenia, możemy napisać należy do dziedziny aby ciąg był rosnący. To definiuje naszą dziedzinę tutaj. To że ciąg jest rosnący to bardzo nam ogranicza możliwe wyniki. W szczególności odrzuca nam tą opcję kiedy ciąg byłby malejący. No i gdy mamy wyliczonego x a wiemy, że x na pewno w tym przykładzie jest równy 3 to możemy obliczyć te 3 kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego.
To będzie wtedy 5, 3 do kwadratu plus 1 czyli 9 plus 1, 10, 5 razy 3, 15. Rzeczywiście zgadza się, otrzymaliśmy ciąg arytmetyczny, ciąg liczb, w których każda kolejna jest większa o stałą liczbę od poprzedniego. 5 plus 5, 10, 10 plus 5, 15. Gdybyśmy chcieli kontynuować ten ciąg dalej to znowu byśmy dodawali 5. Taka jest natura ciągu arytmetycznego, że rośnie w taki stały sposób. No czyli odpowiedzią w tym zadaniu jest różnica ciągu R, jest równa 5. To jest odpowiedź do tego zadania. Przejdźmy jeszcze do ostatniego przykładu, który przygotowałem dla Was w tym filmiku, mianowicie przykładu z ciągiem geometrycznym. No jak się pojawił arytmetyczny to również przećwiczmy podobną sytuację na geometrycznym.
Mamy dane tutaj dwa wyrazy tego ciągu, wyraz 3 i 5, a musimy obliczyć wyraz 6. Jak się z tym problemem uporać? To można na wiele sposobów. Na przykład tak, wyraz 3 razy iloraz ciągu geometrycznego Q w potędze drugiej to jest wyraz 5. Napisałem tutaj taką może nie do końca jasną równość, od razu się z niej wytłumaczę. Ciąg geometryczny powstaje w taki sposób, że wyraz 3 mnożymy przez Q, otrzymujemy wyraz 4, wyraz 4 mnożymy przez pewną stałą liczbę Q, otrzymujemy wyraz 5, wyraz 5 mnożymy przez Q, otrzymujemy wyraz 6 itd. To się nazywa iloraz ciągu geometrycznego stała liczba, podobnie jak w przypadku ciągu arytmetycznego różnica jest stałą liczbą.
No i teraz gdybyśmy wyraz 3 pomnożyli od razu 2 razy przez Q, razy Q razy Q, czyli inaczej mówiąc razy Q², to otrzymamy wyraz 5. Ja to właśnie tu napisałem, wyraz 3 razy Q² równa się wyraz 5, czyli 4 razy Q² równa się 9, czyli Q² równa się 9 4, czyli Q jest równa 3 drugie. Czy na pewno tylko 3 drugie? Oczywiście nie, to jest równanie kwadratowe, może mieć dwa rozwiązania. Jak wyciągamy pierwiastek z tej liczby, to musimy wziąć też wersję ujemną, Q równa się również –3 drugie. Obie wersje są dobre, dla takiego Q będziemy mieli ciąg rosnący, a dla takiego Q ujemnego nie będzie ani rosnący ani malejący, będzie na przemienny.
Raz będziemy mieli liczbę dodatnią, raz ujemną, raz dodatnią, raz ujemną i tak dalej. Ale będziemy mieli w tym zadaniu dwa rozwiązania, ponieważ musimy obliczyć wyraz 6, więc dla Q równego 3 drugie będziemy mieli a6 równa się z wyrazu 5, najłatwiej obliczyć. Wyraz 5 to 9 razy Q, czyli razy 3 drugie to się równa 27 drugich. A jakby było dla Q równego –3 drugie? Oczywiście bardzo podobnie. Wyraz 6 to się równa 9 razy –3 drugie, czyli –27 drugich, ale mamy dwa rozwiązania. Dwie odpowiedzi do tego zadania, dwie wersje na szósty wyraz, w zależności od tego ile będzie równy ilo raz Q.
Oba ilo razy spełniają nasz warunek w naszym zadaniu, nie mamy tu nic powiedziane, że ciąg ma być rosnący, malejący. A gdyby było powiedziane, że ciąg geometryczny jest malejący, to co wtedy? Aby było powiedziane, że ciąg geometryczny jest rosnący, to Q nie ma rozwiązania, jest sprzeczna. Dlatego Q mamy ciąg geometryczny rosnący, ponieważ jest to Q większy od 1, a dla takiego Q nie jest rosnący ani malejący. Bo na przemian mamy liczbę dodatnią i ujemną. Wyraz 5 jest dodatni, a wyraz 6 ujemny, 7 znowu byłby dodatni. Jakbyśmy chcieli obliczyć w tym przypadku A7, to to byłoby minus 27 drugich razy Q, czyli razy minus 3 drugie, czyli 81 czwartych. Dwa minusy dają plus, otrzymaliśmy dodatnią liczbę.
No dobrze, to może już byłoby na tyle w tym filmiku. I tak wyszedł dosyć długi, ja gadałem szybko, sporo informacji, ale myślę, że te wszystkie wiadomości, które sobie powiedzieliśmy w tym filmiku, gdybyście mieli dobrze opanowane, rozumieli to, o czym sobie tu opowiedzieliśmy, to myślę, że zdanie matury nie powinno być dla Was problemem. Przygotuję jeszcze kolejny odcinek w tym stylu, ale czekam na Wasze propozycje. Co podacie mi w komentarzach? Co sprawia Wam największą trudność? Co chcielibyście, abym omówił? Jak widzicie, geometrii analitycznej, przestrzennej tutaj nie poruszyłem. Myślę, że może warto byłoby coś na ten temat powiedzieć. Może coś o dowodach, ale to już się zdaje na Was. Dajcie w komentarzach swoje propozycje.
Ja oczywiście dodam coś od siebie, co uznam, że warto byłoby powiedzieć, o czym nawet jeżeli nie wspomnicie w komentarzach, to także powiem, ale te Wasze propozycje, które z Waszej strony napłyną, co Wy byście chcieli, abym omówił, to na pewno też uwzględniej o tym opowiem. A w tym filmiku dziękuję Wam za uwagę. Dziękuję, jeżeli wytrwaliście do końca. Życzę powodzenia w przygotowaniach i na maturze i do usłyszenia. Dzięki za uwagę. .
S K R Y B O T
Skrybot. 2023, Video transcriptions from YouTube
By visiting or using our website, you agree that our website or the websites of our partners may use cookies to store information for the purpose of delivering better, faster, and more secure services, as well as for marketing purposes.